第一题,求微分方程y"+y=3x^2的通解,第二题：求微分方程y'-(y-x)^2=1的通解
2个回答

1.∵原方程的特征方程是r²+1=0,则特征根是r=±i

∴原方程的齐次方程的通解是y=C1cosx+C2sinx (C1,C2是积分常数)

设原方程的特解是y=Ax²+Bx+C

∵y'=2Ax+B,y''=2A

代入原方程得2A+Ax²+Bx+C=3x²

==>A=3,B=0,2A+C=0 (比较同次幂的系数)

==>A=3,B=0,C=-6

∴原方程的特解是y=3x²-6

故原方程的通解是y=C1cosx+C2sinx+3x²-6 (C1,C2是积分常数)

2.设u=y-x,则y'=u'+1

代入原方程得u'+1-u²=1

==>u'-u²=0

==>du/u²=dx

==>1/u=-x+C (C是积分常数)

==>u=1/(C-x)

==>y-x=1/(C-x)

故原方程的通解是y=x+1/(C-x) (C是积分常数)

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