已知xi＞0（i=1，2，3，…，n），我们知道有（x1+x2）（1x1+1x2）≥4成立．
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解题思路：（Ⅰ）利用基本不等式，即可证明（x1+x2+x3）（1x1+1x2+1x3）≥9；（Ⅱ）猜测（x1+x2+…+xn）（1x1+1x2+…+1xn）≥n2（n≥2），再用数学归纳法证明．
证明：（Ⅰ）（x1+x2+x3）（
1
x1+
1
x2+
1
x3）=3+（
x1
x2+
x2
x1）+（
x1
x3+
x3
x1）+（
x2
x3+
x3
x2）≥3+2+2+2=9，
∴（x1+x2+x3）（
1
x1+
1
x2+
1
x3）≥9
（Ⅱ）猜测满足的不等式为（x1+x2+…+xn）（
1
x1+
1
x2+…+
1
xn）≥n2（n≥2），
证明如下：
（1）当n=1时，x1•
1
x1≥1，猜想成立；当n=2时，（x1+x2）（
1
x1+
1
x2）≥4，猜想成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，即（x1+x2+…+xk）（
1
x1+
1
x2+…+
1
xk）≥k2，
那么n=k+1时，（x1+x2+…+xk+1）（
1
x1+
1
x2+…+
1
xk+
1
xk+1）=（x1+x2+…+xk）（
1
x1+
1
x2+…+
1
xk）+xk+1（
1
x1+
1
x2+…+
1
xk）+（x1+x2+…+xk）
1
xk+1+1≥k2+2k+1=（k+1）2
则当n=k+1时猜想也成立，
根据（1）（2）可得猜想对任意的n∈N，n≥1都成立．
点评：
本题考点： 数学归纳法；基本不等式．
考点点评： 本题以已知不等式为载体，考查类比推理，考查数学归纳法，关键是第二步，同时应注意利用归纳假设．
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