如图,△ABC中,I是内心,AI交BC于D,交△ABC的外接圆于E,若AB=4,AE=5,AC=2,求四边形ABEC的面
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S四边形ABEC=12
1) 先求AD的值.由∠BAE=∠A/2=∠DAC,∠BEA=∠DCA可知△BAE∽△DAC,于是AE*AD=AB*AC,故AD=AB*AC/AE=8/5,ED=AE-AD=17/5
2) 再求BE的值.由∠EBD=∠EAC=∠EAD,∠BED公共可知△EBD∽△EAB,于是BE^2=ED*EA,故BE=√17
3) 最后求S△ABE、S△ACE.过B、C分别作AD的垂线BM、CN
3.1) 显然BM/CN=BD/CD=AB/AC=2,所以S△ABE=2S△ACE
3.2) 已知△ABE的三边求面积.根据勾股定理：BE^2=BM^2+EM^2,BA^2=BM^2+AM^2,两者相减得BE^2-BA^2=EM^2-AM^2=(EM+AM)*(EM-AM)=AE*(EM-AM),于是EM-AM=(BE^2-BA^2)/AE=1/5,又EM+AM=AE=5,所以EM=13/5,AM=12/5
3.3) 于是BM=√(BA^2-AM^2)=16/5,从而S△ABE=AE*BM/2=8,S△ACE=S△ABE/2=4,于是S四边形ABEC=S△ABE+S△ACE=12
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