给定数列a1,a2,…,an.对i=1,2,…,n-1,该数列前i项的最大值记为Ai,后n-i项ai+1,ai+2,…,an的最小值记为Bi,di=Ai-Bi.
(Ⅰ)设数列{an}为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值;
(Ⅱ)设a1,a2,…,an-1(n≥4)是公比大于1的等比数列,且a1>0.证明:d1,d2,…,dn-1是等比数列;
(Ⅲ)设d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差数列,且d1>0.证明:a1,a2,…,an-1是等差数列.
解题思路:(Ⅰ)当i=1时,A1=3,B1=1,从而可求得d1,同理可求得d2,d3的值;
(Ⅱ)依题意,可知an=a1qn-1(a1>0,q>1),由dk=ak-ak+1⇒dk-1=ak-1-ak(k≥2),从而可证
d
k
d
k-1
(k≥2)为定值.
(Ⅲ)依题意,0<d1<d2<…<dn-1,可用反证法证明a1,a2,…,an-1是单调递增数列;再证明am为数列{an}中的最小项,从而可求得是ak=dk+am,问题得证.
(Ⅰ)当i=1时,A1=3,B1=1,故d1=A1-B1=2,同理可求d2=3,d3=6;
(Ⅱ)由a1,a2,…,an-1(n≥4)是公比q大于1的等比数列,且a1>0,则{an}的通项为:an=a1qn-1,且为单调递增的数列.
于是当k=1,2,…n-1时,dk=Ak-Bk=ak-ak+1,
进而当k=2,3,…n-1时,
dk
dk-1=
ak-ak+1
ak-1-ak=
ak(1-q)
ak-1(1-q)=q为定值.
∴d1,d2,…,dn-1是等比数列;
(Ⅲ)设d为d1,d2,…,dn-1的公差,
对1≤i≤n-2,因为Bi≤Bi+1,d>0,
所以Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d>Bi+di=Ai,
又因为Ai+1=max{Ai,ai+1},所以ai+1=Ai+1>Ai≥ai.
从而a1,a2,…,an-1为递增数列.
因为Ai=ai(i=1,2,…n-1),
又因为B1=A1-d1=a1-d1<a1,
所以B1<a1<a2<…<an-1,
因此an=B1.
所以B1=B2=…=Bn-1=an.
所以ai=Ai=Bi+di=an+di,
因此对i=1,2,…,n-2都有ai+1-ai=di+1-di=d,
即a1,a2,…,an-1是等差数列.
点评:
本题考点: 等差数列与等比数列的综合.
考点点评: 本题考查等差数列与等比数列的综合,突出考查考查推理论证与抽象思维的能力,考查反证法的应用,属于难题.
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