解题思路：（1）设圆心为C（x，y），线段MN的中点为E，依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，由此能求出动圆圆心的轨迹C的方程．（2）设E（x1，x124），F（x2，x224），由A，E，F三点共线，得到x1x2=-8，由已知条件利用导数性质求出P点坐标为（x1+x22，−2），由此能求出|PE|•|OF|当且仅当x2=-x1时取最小值，从而能求出直线EF方程为y=2．
（1）设圆心为C（x，y），线段MN的中点为E，则|ME|=
|MN|
2，
依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，
∴x2+（y-2）2=22+y2，整理，得x2=4y，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为x2=4y．
（2）设E（x1，
x12
4），F（x2，
x22
4），
由A，E，F三点共线，得
x22
4−2
x2＝
x12
4−2
x1，∴x1x2=-8，
由x2=4y，得y=[1/4x2，∴y′＝
1
2x，
∴PE的方程为y＝
x12
4＝
x1
2(x−x1)，即y=
x1
2x−
1
4x12．
同理PF的方程为y=
x2
2x−
1
4x22，
解得P点坐标为（
x1+x2
2，
x1x2
4]），即（
x1+x2
2，−2），
∴|PE|=
1+
x12
4•|
x1+x2
2−x1|=
(x2−x1)•
4+x12
4，
∴|PE|•|OF|=
(x2−x1)2•
16+4(x12+x22)+x12•x22
16
=
(x12+x22+16)•
16+4(x12+x22)+x12x22
16
=
(x12+x22+16)•
16+4(x12+x22)+64
16
=
(x12+x22+16)•
20+(x12+x22)
8
≥
(2|x1x2|+16)•
20+2|x1x2|
8=24，
当且仅当x2=-x1时，上式取等号，
此时EF的斜率为0，所求直线EF方程为y=2．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查动圆圆心的轨迹方程的求法，考查考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
