动圆D过定点A（0，2），圆心D在抛物线x 2 =4y上运动，MN为圆D在x轴上截得的弦．
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（1）设直线BC为y=kx+1，代入x 2+y 2=4得，（1+k 2）x 2+2kx-3=0，
S=
1
2 |FA|| x 1 - x 2 |
=
| x 1 - x 2 |
2
=
( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2
2
=
4 k 2 +3
(1+ k 2 ) 2
=
4-(
1
1+ k 2 -2 ) 2 ≤
3 ．
当且仅当k=0时，△ABC的最大面积为
3 ．
（2）设圆心 (a，
a 2
4 ) ，则圆为 (x-a ) 2 +(y-
a 2
4 ) 2 = a 2 +(2-
a 2
4 ) 2 ．
当y=0时，x=a±2，
∴|MN|=4，
令∠MAN=θ，
由余弦定理，得16=m 2+n 2-2mncosθ，
又由 S △AMN =
1
2 mnsinθ-
1
2 |MN| y A
=
1
2 ×4×2=4 ，
∴
16
mn =2sinθ ，
∴
m
n +
n
m =2(sinθ +cosθ+
=2
2 sin(θ+
π
4 ) ≤2
2 ，
当 θ=
π
4 时取得最大值．
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