已知圆Q过定点A（0,p）（p＞0）,圆心Q在抛物线C：x^2=2py上运动,MN为圆Q在x轴上所截得的弦.
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（1）圆心Q在抛物线C：x^2=2py上,可设Q(a,a^2/(2p))；圆Q过定点A（0,p）（p＞0）,所以它的半径：r^2=(a-0)^2+[a^2/(2p)-p]^2=a^2+[a^2/(2p)-p]^2,进一步可以写出圆的方程：
(x-a)^2+[y-a^2/(2p)]^2=a^2+[a^2/(2p)-p]^2,整理得
x^2+y^2-2ax-a^2y/p+(a^2-p^2)=0…………（1）
又MN为圆Q在x轴上所截得的弦,即圆Q上两点M、N的纵坐标都是零,令（1）式中的y=0可得
x^2-2ax+(a^2-p^2)=0
于是由韦达定理即得x1+x2=2a,（x1）×（x2）=a^2-p^2
所以｜MN｜^2=(x1+x2)^2-4（x1）×（x2）=4a^2-4(a^2-p^2)=4p^2（常数）
故当Q点运动时,｜MN｜没有变化.
（2）|OA|是|OM|与|ON|的等差中项,所以|OA|=（|OM|+ON|）/2,而|OA|=p,故|OM|+|ON|=2p
若M、N在x轴的同侧,则有|OM|+|ON|=2a,|OM|+|ON|=-2a,从而a=p或a=-p；
若M、N在x轴的异侧,则有|OM|+|ON|=｜MN｜=2p,从而a=p
抛物线C：x^2=2py的准线方程为：y=-p/2
当a=p时,圆Q的圆心为(p,p/2),半径r^2=5p^2/4,圆心到准线的距离d^2=(p/2+p/2)^2=p^2,显然r^2>d^2,所以准线与圆相离；
当a=-p时,圆Q的圆心为(-p,p/2),半径r^2=5p^2/4,圆心到准线的距离d^2=(p/2+p/2)^2=p^2,显然r^2>d^2,所以准线与圆相离.
综上所述,抛物线C的准线与圆Q相离.
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