已知数列{an}的前n项和为S,a1=1,a2=2 - 已解决

已知数列{an}的前n项和为S,a1=1,a2=2,a3=8/3,S（n+1）=8/3-7/3s（n-1）+2/3S（n

已知数列{an}的前n项和为S,a1=1,a2=2,a3=8/3,S（n+1）=8/3-7/3s（n-1）+2/3S（n-2）（n大于等于3）

bn=a（n+1）-an

1.证明bn为等比

2.求an

3.nan的前n项和为Tn,证明Tn大于-27

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第1问：

S(n+1)=8/3Sn-7/3S(n-1)+2/3S(n-2)

3S(n+1)+7S(n-1)=8Sn+2S(n-2)

3[S(n-1)+a(n+1)+an]+7S(n-1)=8[S(n-1)+an]+2[S(n-1)-a(n-1)]

10S(n-1)+3a(n+1)+3an=10S(n-1)+8an-2a(n-1)

3a(n+1)-3an=2an-2a(n-1)

3[a(n+1)-an]=2[an-a(n-1)]

bn/b(n-1)=[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=2/3

b2/b1=(a3-a2)/(a2-a1)=2/3符合

所以bn是公差为2/3的等比数列

第2问：

b1=a2-a1=1

bn=b1*q^(n-1)=1*(2/3)^(n-1)=(2/3)^(n-1)=a(n+1)-an

an-a(n-1)=(2/3)^(n-2)

a(n-1)-a(n-2)=(2/3)^(n-3)

……

a2-a1=(2/3)^0=1

各式相加得

an-a1=1+2/3+(2/3)^2+……+(2/3)^(n-2)

=1*[1-(2/3)^(n-1)]/(1-2/3)

=3-3*(2/3)^(n-1)

an=a1+3-3*(2/3)^(n-1)=4-3*(2/3)^(n-1)

第3问：

设Rn=1*(2/3)^0+2*(2/3)^1+3*(2/3)^2+……+n*(2/3)^(n-1)

2/3*Rn=1*(2/3)^1+2*(2/3)^2+3*(2/3)^3+……+n*(2/3)^n

Rn-2/3*Rn=(2/3)^0+(2/3)^1+(2/3)^2+……+(2/3)^(n-1)-n*(2/3)^n

=1*[1-(2/3)^n]/(1-2/3)-n*(2/3)^n

=3-(n+3)*(2/3)^n

所以Rn=9-3(n+3)*(2/3)^n

Tn=1a1+2a2+3a3+……nan

=1[4-3*(2/3)^0]+2[4-3*(2/3)^1]+3[4-3*(2/3)^2]+……+n[4-3*(2/3)^(n-1)]

=4(1+2+3+……n)-3[1*(2/3)^0+2*(2/3)^1+3*(2/3)^2+……+n*(2/3)^(n-1)]

=4n(n+1)/2-3Rn

=2n(n+1)+9(n+3)*(2/3)^n-27

因为当n≥1时,2n(n+1)+9(n+3)*(2/3)^n>0

所以Tn>-27

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