第1问：
S(n+1)=8/3Sn-7/3S(n-1)+2/3S(n-2)
3S(n+1)+7S(n-1)=8Sn+2S(n-2)
3[S(n-1)+a(n+1)+an]+7S(n-1)=8[S(n-1)+an]+2[S(n-1)-a(n-1)]
10S(n-1)+3a(n+1)+3an=10S(n-1)+8an-2a(n-1)
3a(n+1)-3an=2an-2a(n-1)
3[a(n+1)-an]=2[an-a(n-1)]
bn/b(n-1)=[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=2/3
b2/b1=(a3-a2)/(a2-a1)=2/3符合
所以bn是公差为2/3的等比数列
第2问：
b1=a2-a1=1
bn=b1*q^(n-1)=1*(2/3)^(n-1)=(2/3)^(n-1)=a(n+1)-an
an-a(n-1)=(2/3)^(n-2)
a(n-1)-a(n-2)=(2/3)^(n-3)
……
a2-a1=(2/3)^0=1
各式相加得
an-a1=1+2/3+(2/3)^2+……+(2/3)^(n-2)
=1*[1-(2/3)^(n-1)]/(1-2/3)
=3-3*(2/3)^(n-1)
an=a1+3-3*(2/3)^(n-1)=4-3*(2/3)^(n-1)
第3问：
设Rn=1*(2/3)^0+2*(2/3)^1+3*(2/3)^2+……+n*(2/3)^(n-1)
2/3*Rn=1*(2/3)^1+2*(2/3)^2+3*(2/3)^3+……+n*(2/3)^n
Rn-2/3*Rn=(2/3)^0+(2/3)^1+(2/3)^2+……+(2/3)^(n-1)-n*(2/3)^n
=1*[1-(2/3)^n]/(1-2/3)-n*(2/3)^n
=3-(n+3)*(2/3)^n
所以Rn=9-3(n+3)*(2/3)^n
Tn=1a1+2a2+3a3+……nan
=1[4-3*(2/3)^0]+2[4-3*(2/3)^1]+3[4-3*(2/3)^2]+……+n[4-3*(2/3)^(n-1)]
=4(1+2+3+……n)-3[1*(2/3)^0+2*(2/3)^1+3*(2/3)^2+……+n*(2/3)^(n-1)]
=4n(n+1)/2-3Rn
=2n(n+1)+9(n+3)*(2/3)^n-27
因为当n≥1时,2n(n+1)+9(n+3)*(2/3)^n>0
所以Tn>-27
