在三角形中,∠A,∠B,∠C的对边分别是abc,AD为BC边上的高,且AD=BC,试求b/c+c/b的最大值?
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1个回答

答案是√5

因为b、c是对称的,假设b>=c,即b/c>=1.记BC=AD=a,b/c=u(根据假设,u>=1)

1) 很容易证明函数u+(1/u)在[1,+∞)上单调递增的,因此u+(1/u)在u取最大值时具有最大值

2) 于是问题转化为求b/c的最大值.将B、C放到x轴上,并且C在原点.根据题意,A的纵坐标为a,假设其横坐标为x

A点坐标：(x,a)

B点坐标：(-a,0)

C点坐标：(0,0)

于是b/c=√((x+a)^2 + a^)/(x^2 + a^2))=√(1 + (a^2 + 2*a*x)/(x^2 + a^2))

3) 问题又转化为求(a^2 + 2*a*x)/(x^2 + a^2)的最大值,假设这个最大值是k,即(a^2 + 2*a*x)/(x^2 + a^2) 恒 0并且(2*a)^2 - 4*k*(k-1)*a^2 = 0

k = (1+√5)/2

即(a^2 + 2*a*x)/(x^2 + a^2) 恒

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