如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线,求证AE=EF
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图呢?

①成立

在AB上取一点M,使AM＝EC,连接ME．

∴BM＝BE．∴∠BME＝45°.∴∠AME＝135°．

∵CF是外角平分线,

∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°．

∴∠AME＝∠ECF．

∵∠AEB＋∠BAE＝90°,∠AEB＋CEF＝90°,

∴∠BAE＝∠CEF．

在△AME和 △BCF中

∠EAM=∠EHC

AM=EC

∠AME=∠ECF

∴△AME≌△BCF（ASA）．

∴AE＝EF．

②成立

在BA的延长线上取一点N,使AN＝CE,连接NE．

∴BN＝BE．

∴∠ENB＝∠FCE＝45°.

∴∠ANE=∠CEF=135`

四边形ABCD是正方形,

∴AD‖BE．

∴∠DAE＝∠BEA．

∴∠NAE＝∠CEF．

在△ANE和△ECF中

∠ANE=∠CEF

AN=CE

∠NAE=∠FCE

∴△ANE≌△ECF（ASA）．

∴AE＝EF．

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