已知△ABC的三个顶点都在椭圆x^2/20+y^2/16=1上,A为椭圆短轴端点,AB⊥AC,AH⊥BC交BC于点H,求

已知△ABC的三个顶点都在椭圆x^2/20+y^2/16=1上,A为椭圆短轴端点,AB⊥AC,AH⊥BC交BC于点H,求点H的轨迹方程.

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设A(0,4)

AB所在直线方程：y=kx+4

AC所在直线方程：y=-x/k+4

4x^2+5y^2=80

解方程求B、C点坐标

xb=-40k/(4+5k^2)

yb=(16-20k^2)/(4+5k^2)

xc=40k/(4k^2+5)

yc=(16k^2-20)/(4k^2+5)

BC直线的斜率：Kbc=4(k^2-1)/9k

代入B或C任意一点坐标,可以确定BC直线的截距

b=(16k^2-20)/4k^2+5)-160(k^2-1)/[9(4k^2+5)]

=1/[9(4k^2+5)]*(-16k^2-20)

=-4/9

可见,BC直线过定点（设为D）D(0,-4/9)

由于AH⊥BC,即

AH⊥HD,可见对于椭圆上任意一点B,经题意做出的H是以AD为直径的圆上的点

AD=4+4/9=40/9=2r

r=20/9

圆心O(0,4-20/9）,即O(0,16/9)

H的轨迹方程：x^2+(y-16/9)^2=400/81

同理,当A为(0,-4),H点的轨迹：

x^2+(y+16/9)^2=400/81

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