已知函数f(x)=x-1-alnx,求证,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
收藏：
0
点赞数：
0
评论数：
0
3个回答

①充分性

当a=1时,f（x）=x-1-lnx,f'（x）=1-1 x =x-1 x∴当x＞1时,f'（x）＞0,所以函数f（x）在（1,+∞）上是增函数,

当0＜x＜1时,f'（x）＜0,所以函数f（x）在（0,1）上是减函数,

∴f（x）≥f（1）=0

②必要性

f'（x）=1-a x =x-a x ,其中x＞0

（i）当a≤0时,f'（x）＞0恒成立,所以函数f（x）在（0,+∞）上是增函数

而f（1）=0,所以当x∈（0,1）时,f（x）＜0,与f（x）≥0恒成立相矛盾

∴a≤0不满足题意．

（ii）当a＞0时,∵x＞a时,f'（x）＞0,所以函数f（x）在（a,+∞）上是增函数；

0＜x＜a时,f'（x）＜0,所以函数f（x）在（0,a）上是减函数；

∴f（x）≥f（a）=a-a-alna

∵f（1）=0,所以当a≠1时,f（a）＜f（1）=0,此时与f（x）≥0恒成立相矛盾

∴a=1

综上所述,f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1；

点赞数：
0
评论数：
0
相关问题
关注公众号
一起学习，一起涨知识