设B是m×n实矩阵,A=B'B,证明R(A)=R(B) 且A的特征值大于等于0
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(1) 要证明R(A)=R(B),只需证明方程组

BX=0与B'BX=0同解就可以了.

下证BX=0与B'BX=0同解.

显然,BX=0与B'BX=0都是n元齐次线性方程组,

设X0是BX=0的任意解,

则B(X0)=0

故B'B(X0)=0

所以X0也是方程组B'BX=0的解,由X0的任意性知BX=0的所有解都是B'BX=0的解,

反之,设Y是方程组B'BX=0的任意解,则

B'BY=0

故Y'B'BY=0

(BY)'(BY)=0

所以BY=0

可见Y也是方程组BX=0的解,

所以,由Y的任意性知B'BX=0的所有解都是BX=0的解,

故两个方程组同解.从而有相同的基础解系.

故基础解系中所含解向量的个数相等,设为s.

从而其系数矩阵的秩也相等,都为n-s

即R(B)=R(B'B)=R(A)

(2)因为A=B'B对应的二次型为

X'AX=X'B'BX=(BX)'(BX)≥0

即二次型为半正定的,所以A的特征值大于等于0.

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