证明:显然A^TA+B^TB是对称矩阵.
设D=[A;B],即D为上下两块的分块矩阵,是2m*n实矩阵
则A,B的行向量都可由D的行向量线性表示
所以A+B的行向量都可由D的行向量线性表示
所以 r(A+B)=0,且等号成立的充要条件是Ax=0
x^T(B^TB)x=(Bx)^T(Bx)>=0,且等号成立的充要条件是Bx=0
综上有:对任一n维非零列向量x
x^T(A^TA+B^TB)x = (Ax)^T(Ax)+(Bx)^T(Bx) >0.
所以 A^TA+B^TB正定.
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