已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足：①图象过原点；②f（1-x）=f（1+x）；③g（x）=f（x）-x2是奇

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足：①图象过原点；②f（1-x）=f（1+x）；③g（x）=f（x）-x2是奇函数．解答下列各题：

（1）求c；

（2）证明：b=-2a；

（3）求f（x）的解析式．

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解题思路：（1）由二次函数f（x）=ax2+bx+c图象过原点，知f（0）=c=0，由此能求出c．

（2）由c=0，知f（x）=ax2+bx，由f（1-x）=f（1+x），得-4ax=2bx，由此能够证明b=-2a．

（3）由g（x）=f（x）-x2=ax2+bx-x2=（a-1）x2+bx是奇函数，知a=1，故b=-2a=-2，由此能求出f（x）．

（1）∵二次函数f（x）=ax2+bx+c图象过原点，

∴f（0）=c=0，

故c=0．

（2）证明：∵c=0，∴f（x）=ax2+bx，

∵f（1-x）=f（1+x），

∴a（1-x）2+b（1-x）=a（1+x）2+b（1+x），

即a-2ax+ax2+b-bx=a+2ax+ax2+b+bx，

整理，得-4ax=2bx，

∴b=-2a．

（3）∵g（x）=f（x）-x2=ax2+bx-x2=（a-1）x2+bx是奇函数，

∴a-1=0，即a=1，

∴b=-2a=-2，

∴f（x）=x2-2x．

点评：

本题考点： 二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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