在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a2+c2−b2＝12ac．
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解题思路：（Ⅰ）由余弦定理和题设条件求得cosB的值，进而利用诱导公式和二倍角公式对
si
n
2
A+C
2
+cos2B
化简整理，最后把cosB的值代入即可求得答案．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中cosB的值，可求得sinB的值，进而通过
a
2
+
c
2
−
b
2
＝
1
2
ac
．利用基本不等式求得ac的范围，最后利用三角形面积公式，求得三角形面积最大值．
（Ⅰ）由余弦定理：cosB＝
1
4
sin2
A+C
2+cos2B＝sin2(
π
2−
B
2)+2cos2B−1
=cos2
B
2+2cos2B−1
=[1+cosB/2+2cos2B−1
=−
1
4]
（Ⅱ）由cosB=[1/4]，得sinB=
15
4．
∵b=2，a2+c2−b2＝
1
2ac
∴a2+c2＝
1
2ac+b2＝
1
2ac+4≥2ac，从而ac≤
8
3
故S△ABC＝
1
2acsinB≤
15
3（当且仅当a=c时取等号）
点评：
本题考点： 余弦定理．
考点点评： 本题主要考查了余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的化简求值．考查了学生分析推理和基本运算的能力．
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