已知实系数二次函数f（x）=ax 2 +bx+c对任何-1≤x≤1，都有|f（x）|≤1．
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（1）设g（x）=dx 3+ex 2+hx+k，
则g′（x）=3dx 2+2ex+h=2x 2-1，
∴3d=2，2e=0，h=-1，
∴ d=
2
3 ，e=0，h=-1 ，
又g（0）=0，
∴k=0，
∴ g(x)=
2
3 x 3 -x ，
若数列{a n}构成等差数列，
可设a n=un+v，u，v为常数，
∵a n=g（a n-1），
∴a n+1=g（a n），
∴v+ u(n+1)=
2
3 (un+v ) 3 -(un+v) （*），
当u=0时，（*）简化为 v=
2
3 v 3 -v ，
由此解得： u=0，v=o，±
3 ，
所以数列{a n}能构成等差数列：
①0，0，0，…；②
3 ，
3 ，
3 ，…；③ -
3 ，-
3 ，-
3 ．（4分）
（2）f（0）=c，
f（1）=a+b+c，
f（-1）=a-b+c，
三者都属于[-1，1]，
设w=|a|+|b|+|c|，不妨设a＞0，
①b，c≥0时，w=a+b+c=f（1）＜=1；
②b，c＜0时，w=a-b-c=f（-1）-2f（0）≤3；
③b≥0＞c时，w=a+b-c=f（1）-2f（0）≤3；
④c≥0＞b时，w=a-b+c=f（-1）≤1．
当a=2，b=0，c=-1时f（x）=2x 22-1满足题设，w=3．
∴所求最大值为3．
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