已知a、b、c是三角形的三边,求证1/(s-a)+1/(s-b)+1/(s-c)≥|9/s|
2个回答
因为 s 恒为正数,所以右边的绝对值是不需要的,只要证明
1/(s-a)+1/(s-b)+1/(s-c)≥9/s,即只要证明 s[1/(s-a)+1/(s-b)+1/(s-c)]≥9.
因为 s-a=1/2(b+c-a),s-b=1/2(a+c-b),s-c=1/2(a+b-c),而 s=1/2(a+b-c)+1/2(a+c-b)+1/2(b+c-a),所以若令 x=1/2(a+b-c),y=1/2(a+c-b),z=1/2(b+c-a),则 x,y,z 均为正实数(三角形两边之和大于第三边),且原不等式化为 (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)≥9.
因为
(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)
=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y) (由均值不等式)
≥3+2+2+2
=9
即 (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)≥9,因此 1/(s-a)+1/(s-b)+1/(s-c)≥9/s.
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