解题思路：（1）根据函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，利用判别式小于0建立不等式，从而证得4b2-16ac＜-1；
（2）根据|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1建立等式，结合a＞0，b＞0，可求出a，b，c的值，从而求出函数解析式；
（3）由f（x）≥x+b恒成立，即：ax2+（2b-1）x+3-b≥0对x∈R恒成立，利用参变量分离法进行求解即可．
（1）函数f（x）与直线y=x无公共点，即ax2+2bx+4c=x无实数解，
故△=（2b-1）2-16ac＜0，即4b2-4b+1-16ac＜0，
同理，函数f（x）与直线y=-x无公共点，即ax2+2bx+4c=-x无实数解，即b2+4b+1-16ac＜0
两式相加 得8b2+2-32ac＜0，即 4b2-16ac＜-1
（2）由|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1，
则|f（0）|=|4c|=1，|a+2b+4c|=|a-2b+4c|，
∴（a+2b+4c）2=（a-2b+4c）2
∴b（a+4c）=0，∵b＞0，∴a+4c=0，
又∵a＞0，|4c|=1，∴a＝1，c＝−
1
4，从而b＝
1
2，
∴f（x）=x2+x-1
（3）c＝
3
4，则f（x）=ax2+2bx+3，由f（x）≥x+b恒成立，即：ax2+（2b-1）x+3-b≥0对x∈R恒成立，
所以
a＞0
△＝(2b−1)2−4a(3−b)≤0(*)，由（*）式 4b2-4b+1≤4a（3-b）对b∈[0，2]恒成立，
∴4a≥
4b2−4b+1
3−b，设g(b)＝
4b2−4b+1
3−b，则只需4a≥g（b）max
∵g(b)＝4(3−b)+
25
3−b−20，当b=2时g（b）max=9
∴4a≥9又a＞0，即a的取值范围是[
9
4，+∞)．
点评：
本题考点： 二次函数的性质．
考点点评： 本题主要考查了二次函数的性质，以及恒成立问题和求函数解析式，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
