（A题）某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间

（A题）某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB=CD=900米，AD=BC=1700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，BC两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC=500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元．

（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计并在图形中画出；

（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？

（B题）如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d．

（1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论．

（2）现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．

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解题思路：A：（1）根据“垂线段最短”即可画出使修建自来水管道的造价最低时，这三个工厂的自来水管道路线；

（2）根据勾股定理和直角三角形的面积公式求得BH的长，根据相似三角形的对应边的比相等分别求得CF，DG的长，再根据每米造价800元求得价钱．

B：（1）此题可以连接平行四边形的对角线，交点是O．作OO1⊥l于O1．根据梯形的中位线定理得到2OO1=DD1+BB1=b+d=AA1+CC1=a+c．

（2）将l向上平移，分别有直线l过B点时；直线l过B点与D点之间时；直线l过D点时；直线l过C点与D点之间时；直线l过C点时；直线l过C点上方时．结合三角形的中位线定理和梯形的中位线定理进行分析．

（A题）（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道路线．

图形如图所示．（3分）

（2）（法一）BE=BC-CE=1700-500=1200（米），

AE=

AB2+BE2=1500（米），

∵△ABE∽△CFE，

得到：[CF/AB＝

CE

AE]．

∴CF=[CE•AB/AE]=[500×900/1500]=300（米）．（5分）

∵△BHE∽△CFE，

得到[CF/BH＝

CE

BE]，

∴BH=[BE•CF/CE]=[1200×300/500]=720（米）．（6分）

∵△ABE∽△DGA，

∴[AB/DG＝

AE

AD]，

∴DG=[AB•AD/AE]=[900×1700/1500]=1020（米）．（9分）

所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是

720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元） （10分）

法二（设∠AEB=∂，利用三角函数可求得BH、CF、DG的长）

（B题）（1）a+c=b+d．（2分）

证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO1为点O到l的距离，

∴OO1为直角梯形BB1D1D的中位线，

∴2OO1=DD1+BB1=b+d；

同理：2OO1=AA1+CC1=a+c．

∴a+c=b+d （4分）

（2）不一定成立（5分）

分别有以下情况：

直线l过A点时，c=b+d；

直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；

直线l过B点时，c-a=d；

直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；

直线l过D点时，a-c=b；

直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；

直线l过C点时，a=b+d；

直线l过C点上方时，a+c=b+d． （10分）

点评：

本题考点： 矩形的性质；垂线段最短；三角形中位线定理；平行四边形的性质；梯形中位线定理；相似三角形的应用．

考点点评： A中，考查了垂线段最短的性质以及运用勾股定理、直角三角形的面积和相似三角形的性质进行计算的方法；

B中，主要是运用了梯形的中位线定理和三角形的中位线定理．

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