PA和PB是圆O切线,M,N是PA,PB中点,E是MN上一点,EF是切线切圆于F,求证,EF=EP
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此题用向量解相对简单.
设平面直角坐标系,令O为原点,圆半径为1,P点在y轴正方向上.
因为A,B在圆上,设A(sina,cosa）,B（-sina,cosa）,同时令P（0,b）
向量PB(sina,cosa-b),OB(sina,cosa)
此时有OB垂直PB,即向量OB*PB=0.化简得cosa*b=1①
因为MN为PA,PB中点,所以坐标分别为M(-sina/2,(b+cosa)/2),
N(sina/2,(b+cosa)/2).因为E点在MN上,所以纵坐标为(b+cosa)/2,设横坐标为x.同时F点位于圆上,令F(sinb.cosb）.
因为有EF垂直于OF（切线),有向量OF*EF=0,化简得x*sinb+(b+cosa)*cosb/2=1②
最后,求EF²-EP²=x²+[(b-cosa)/2]²-[(x-sinb)²+((b+cosa)/2-cosb)²]=.化简得=2xsinb-bcosa+cosb(b+cosa),把①,②代入,得
EF²-EP²=0
即EF长度同EP相等.
向量用电脑不好表达,希望能看懂.记得要采纳.
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