解题思路：（I）确定函数f（x）的定义域，求导函数，利用f'（x）＜0，可得f（x）的单调递减区间；
（II）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极值；
（III）由（II）问可知，当m≤0时，在区间[0，e2-1]不可能恰有两个零点；当m＞0时，利用0为f（x）的一个零点，结合f（x）在[0，e2-1]恰有两个零点，建立不等式，即可求m的取值范围．
（I）依题意，函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
当m=1时，f（x）=ln（1+x）-x，∴f′(x)＝
1
1+x−1…（2分）
由f'（x）＜0得[1/1+x−1＜0，即
−x
1+x＜0，解得x＞0或x＜-1，
又∵x＞-1，∴x＞0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞）． …（4分）
（II）求导数可得f′(x)＝
1
1+x−m，（x＞-1）
（1）m≤0时，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值．…（6分）
（2）m＞0时，由于
1
m−1＞−1，所以f（x）在(−1，
1
m−1]上单调递增，在[
1
m−1， +∞)上单调递减，
从而f(x)极大值＝f(
1
m−1)＝m−lnm−1．…（9分）
（III）由（II）问显然可知，
当m≤0时，f（x）在区间[0，e2-1]上为增函数，∴在区间[0，e2-1]不可能恰有两个零点．…（10分）
当m＞0时，由（II）问知f（x）极大值=f(
1
m−1)，
又f（0）=0，∴0为f（x）的一个零点．…（11分）
∴若f（x）在[0，e2-1]恰有两个零点，只需
f(e2−1)≤0
0＜
1
m−1＜e2−1]
即
2−m(e2−1)≤0
1
e2＜m＜1
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
