设a、b为常数，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一点（a，b）映射为函数ac
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（1）证明：假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，
即F（a，b）=acosx+bsinx与F（c，d）=ccosx+dsinx相同，
即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对一切实数x均成立．
特别令x=0，得a=c；
令x=
π
2 ，得b=d．
这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，
假设不成立．
故不存在两个不同点对应同函数．
（2）当f 0（x）∈M时，
可得常数aa 0，b 0，使f 0（x）=a 0cosx+b 0sinx，
f 1（x）=f 0（x+t）=a 0cos（x+t）+b 0sin（x+t）
=（a 0cost+b 0sint）+（b 0cost-a 0sint）sinx．
由于a 0，b 0，t为常数，
设a 0cost+b 0sint=m，b 0cost-a 0sint=n，
则m，n是常数．
从而f 1（x）=f 0（x+t）∈M．
（3）设f 0（x）∈M，
由此得f 0（x+t）=mcosx+nsinx，
（其中m=a 0cost+b 0sint，n=b 0cost-a 0sint）
在映射F下，f 0（x+t）的原象是（m，n），
则M 1的原象是
{（m，n）|m=a 0cost+b 0sint，n=b 0cost-a 0sint，t∈R}，
消去t得m 2+n 2=a 0 2+b 0 2，
即在映射F下，M 1的原象{（m，n）|m 2+n 2=a 0 2+b 0 2}是以原点为圆心，
a 0 2 + b 0 2 为半径的圆．
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