已知函数f(x)＝log21−mxx−1(m≠1)是奇函数．
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解题思路：（1）由
f(x)＝lo
g
2
1−mx
x−1
(m≠1)
是奇函数，知f（x）+f（-x）=0，由此能求出m．
（2）函数f（x）在（1，+∞）上是单调递减函数．在（1，+∞）任取x1，x2，设1＜x1＜x2，利用单调函数的定义进行证明．
（1）∵f(x)＝log2
1−mx
x−1(m≠1)是奇函数，
∴f（x）关于原点对称，
∴f（x）+f（-x）=0，
∴log2
1−mx
x−1+log2
1+mx
−x−1=log2(
1−mx
x−1•
1+mx
−x−1)=0，
∴[1−mx/x−1•
1+mx
−x−1]=1，
解得m=-1或m=1（舍）
∴m=-1．
（2）函数f（x）在（1，+∞）上是单调递减函数．
证明：在（1，+∞）任取x1，x2，设1＜x1＜x2，
则f（x2）-f（x1）
=log2
1+x2
x2−1-log2
1+x1
x1−1
=log2
(1+x2)(x1−1)
(x2−1)(1+x1)，
∵1＜x1＜x2，
∴（1+x2）（x1-1）＞0，（x2-1）（1+x1）＞0
（1+x2）（x1-1）-（x2-1）（1+x1）
=（x1+x1x2-1-x2）-（x2-1+x1x2-x1）
=2x1-2x2＜0，
∴0＜
(1+x2)(x1−1)
(x2−1)(1+x1)＜1，
∴log2
(1+x2)(x1−1)
(x2−1)(1+x1)＜0，即f（x2）-f（x1）＜0，
∴函数f（x）在（1，+∞）上是单调递减函数．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数的单调性的证明，解题时要注意对数性质的合理运用．
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