设三角形ABC的内角ABC所对的边分别为abc,且acosB-bcosA=1/2c,求tan（A-B）的最大值
2个回答
(1)
∵acosB-bcosA=1/2c/
∴2R×sinAcosB-2R×sinBcosA=2R*sinC×1/2(正弦定理)
∴sinAcosB-sinBcosA=1/2sinC
∴2sinAcosB-2sinBcosA=sin[π-(A+B)]
∴2sinAcosB-2sinBcosA=sin(A+B)
∴2sinAcosB-2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB
∴sinAcosB=3sinBcosA
∴tanAcotB=3
(2)
∵tanAcotB=3
∴cotB=3/tanA
∴tanB=1/cotB=tanA/3
∵tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA×tanB)
∴tan(A-B)=(tanA-tanA/3)/(1+tanA×tanA/3)
∴tan(A-B)=(2tanA/3)/(1+tan²A/3)
∴tan(A-B)=2tanA/(3+tan²A)
∴tan(A-B)=2/(3/tanA+tanA)≤√3/3(均值定理)
当且仅当3/tanA=tanA,即tanA=√3时,等号成立,等式tan(A-B)取得最大值√3/3.
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