△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB-bcosA=[3/5]c，则tan（A-B）的最大值是_
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解题思路：首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinAcosB-2RsinBcosA=[3/5]2RsinC，然后利用诱导公式、同角的三角函数的基本关系式及两角和与差的正弦公式可得tanA=4tanB，再根据两角差的正切公式、均值不等式求解即可．
∵a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴2RsinAcosB-2RsinBcosA=[3/5]2RsinC，
即sinAcosB-sinBcosA=[3/5]sinC，①
∵sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，②
将②代入①中，整理得sinAcosB=4cosAsinB，
∴[sinA/cosA]=4•[sinB/cosB]，
即tanA=4tanB；
∵tan（A-B）=[tanA−tanB/1+tanAtanB]=[3tanB
1+4tan2B=
3
1/tanB+4tanB]≤
3
2
4=[3/4]，
∴tan（A-B）的最大值为[3/4]，
故答案为[3/4]．
点评：
本题考点： 正弦定理；基本不等式；两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数．
考点点评： 本题考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式、两角差的正切公式、同角的三角函数的基本关系式、均值不等式等基础知识，考查了基本运算能力．
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