（2001•上海）已知{an}是首项为2，公比为[1/2]的等比数列，Sn为它的前n项和．
1个回答
解题思路：（1）利用等比数列的前n项和公式分别表示出sn与sn+1，对比找出其关系即可；
（2）假设存在自然数c和k，利用（1）的结论及sk的范围，推出c的可能取值，然后逐一验证即可．
解（1）由Sn＝4(1−
1
2n)，得Sn+1＝4(1−
1
2n+1)＝
1
2Sn+2(n∈N)．
（2）要使
Sk+1−c
Sk−c＞2，只要
c−(
3
2Sk−2)
c−Sk＜0．
因为Sk＝4(1−
1
2k)＜4，所以Sk−(
3
2Sk−2)＝2−
1
2Sk＞0(k∈N)，
故只要
3
2Sk−2＜c＜Sk(k∈N)．①
因为Sk+1＞Sk（k∈N），所以
3
2Sk−2≥
3
2S1−2＝1，
又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3．
当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c＜Sk不成立，从而①不成立．
因为
3
2S2−2＝
5
2＞c，由Sk＜Sk+1（k∈N），得
3
2Sk−2＜
3
2Sk+1−2，所以当k≥2时，
3
2Sk−2＞c，从而①不成立．
当c=3时，因为S1=2，S2=3，
所以当k=1，2时，c＜Sk不成立，从而①不成立．
因为
3
2S3−2＝
13
4＞c，又
3
2Sk−2＜
3
2Sk+1−2，
所以当k≥3时，
3
2Sk−2＞c，从而
点评：
本题考点： 等比数列的前n项和．
考点点评： 本题考查了等比数列的前n项和公式以及不等式的有关知识，利用了极限思想及分类讨论的数学思想，综合性和逻辑推理性较强，难度较大．
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