已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为Sn，bn＝1Sn，
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解题思路：（1）等差数列{an}中a1=1，公差d=1，由
b
n
＝
1
S
n
能求出数列{bn}的通项公式．
（2）由
b
n
＝
2
n
2
+n
＝
2
n(n+1)
，能证明b1+b2+…+bn＜2．
（1）∵等差数列{an}中a1=1，公差d=1
∴Sn＝na1+
n(n−1)
2d＝
n2+n
2
∴bn＝
2
n2+n…（4分）
（2）∵bn＝
2
n2+n＝
2
n(n+1)…（6分）
∴b1+b2+b3+…+bn＝2(
1
1×2+
1
2×3+
1
3×4+…+
1
n(n+1))
=2(1−
1
2+
1
2−
1
3+
1
3−
1
4+…+
1
n−
1
n+1)…（8分）
=2(1−
1
n+1)…（11分）
∵n＞0，
∴0＜
1
n+1＜1
∴0＜2(1−
1
n+1)＜2
∴b1+b2+…+bn＜2．…（14分）
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等差数列的前n项和；数列的求和．
考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法和前n项和的证明，是基础题．解题时要认真审题，注意等差数列前n项和公式的应用和裂项求和法的灵活运用．
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