已知函数f（x）=[1/3]x3+ax2+b，其中a，b∈R．
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解题思路：（1）求出导数，求出切线的斜率和切点，得到a，b的方程，解得即可；
（2）由于f（0）=b=[9/2]＞0，关于x的方程f（x）=0有两个不同的正实数根，则有f（x）的极小值为负即可，通过导数的符号即可确定极小值点，解不等式即可得到．
（1）函数f（x）=[1/3]x3+ax2+b的导数f′（x）=x2+2ax，
则在点（-1，f（-1））处的切线斜率为：f′（-1）=1-2a，
由于在点（-1，f（-1））处的切线方程是3x+y+2=0，则1-2a=-3，
解得a=2，
又切点为（-1，1），则-[1/3]+2+b=1，
解得b=-[2/3]；
（2）函数f（x）=[1/3]x3+ax2+b的导数，
f′（x）=x2+2ax，
由于f（0）=b=[9/2]＞0，
关于x的方程f（x）=0有两个不同的正实数根，
则有f（x）的极小值为负即可．
由f′（x）=x2+2ax=x（x+2a），
则0＜x＜-2a，f′（x）＜0，x＜0或x＞-2a，f′（x）＞0，
则有a＜0，且f（-2a）＜0，
即有a＜0，且[1/3]×（-8a3）+4a3+
9
2＜0，
解得，a＜-[3/2]．
故实数a的取值范围是（−∞，−
3
2）．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查导数的运用：求切线方程、求极值，考查判断能力和运算能力，属于中档题和易错题．
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