解题思路：（Ⅰ）求出曲线y=f（x）的导数，利用在点（1，f（1））处的切线方程是y=x+1，即可求a，b的值；
（Ⅱ）（1）要使f（x）在（0，2）内单调递减，则f′（x）≤0在（0，2）内恒成立．即可求a的取值集合A；
（2）（i）当-7≤a≤-6时，f（x）在[0，4]上单调递减，函数的最小值＞a2在a∈[-7，-6]上恒成立，求出b的范围；
（ii）当-6＜a≤-3时，f（x）在
[0，−
2a
3
]
上单调递减，
[−
2a
3
，4]
上单调递增．有f（x）的最小值＞a2恒成立，求实数b的取值范围．即可．
（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax，
∴
f/(1)＝1
f(1)＝2，即
3+2a＝1
1+a+b＝2
∴
a＝−1
b＝2-----------（4分）
（Ⅱ）（1）要使f（x）在（0，2）内单调递减，则f′（x）≤0在（0，2）内恒成立．
∴3x2+2ax≤0即a≤−
3
2x在（0，2）上恒成立．
∴a≤-3即A=（-∞，-3]------------------------（7分）
（2）∵a∈A∩[-7，+∞）=[-7，-3]
（i）当-7≤a≤-6时，f（x）在[0，4]上单调递减，
∴fmin(x)＝f(4)＝64+16a+b＞a2在a∈[-7，-6]上恒成立，
∴b＞a2-16a-64在a∈[-7，-6]上恒成立∴b＞97------------（10分）
（ii）当-6＜a≤-3时，f（x）在[0，−
2a
3]上单调递减，[−
2a
3，4]上单调递增．
∴fmin(x)＝f(−
2a
3)＞a2在a∈（-6，-3]上恒成立．
即b＞−
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质，及导数应用等基础知识，同时考查分类讨论等综合解题能力．
