在三角形ABC的三边AB、BC、CA上分别取点M、N、L,求证:三角形LAM、三角形MBN、三角形NCL中至少有一个面积
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假设M分AB上的两段比例分别为x:(1-x)

同理,N分BC上的两段比例分别为y:(1-y)

L分CA上的两段比例分别为z:(1-z)

并且假设三角形面积为1个单位

那么也就是证明x(1-y),y(1-z),z(1-x)至少有一个不大于1/4

反过来设结论不成立,那么就有

x(1-y)>1/4

y(1-z)>1/4

z(1-x)>1/4

也就是

sqrt(x(1-y))>1/2

sqrt(y(1-z))>1/2

sqrt(z(1-x))>1/2

运用基本不等式:(x+1-y)/2 >=sqrt(x(1-y))

(y+1-z)/2 >=sqrt(y(1-z))

(z+1-x)/2 >= sqrt(z(1-x))

上面三个式子加起来:

左边=3/2 >=sqrt(x(1-y))+sqrt(y(1-z))+sqrt(z(1-x))>3/2

矛盾

所以假设不成立,也就是题中结论成立