如图在四棱锥P—ABCD中已知侧面PAD为等腰直角三角形底面ABCD为直角梯形AB...
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建立空间直角坐标系oxyz,B为原点,BC在x轴上,AB在y轴上,z轴垂直平面ABCD,oxyz构成右手系统.根据题意,四棱锥各顶点的坐标(x,y,z)为A(0,-4,0)、B(0,0,0)、C(2,0,0)、D(2,-2,0)、P(1,-3,√2).(一)求异面直线PA、BD的夹角.PA的直线方程为(x-0)/(1-0)=(y＋4)/(-3＋4)=(z-0)/(√2-0),即x=y＋4=z/√2①；BD的直线方程为(x-0)/(2-0)=(y-0)/(-2-0)和z=0,即x=-y和z=0②；PA直线的方向数为(1,1,√2),BD直线的方向数为(1,-1,0),所以PA、BD向量的数积为1×1＋1×(-1)＋√2×0=0,所以PA和BD的夹角为90°,即PA⊥BD. (二)首先求平面EAD的方程,该平面过点A(0,-4,0)和D(2,-2,0),所以可求得该平面方程为x-y＋mz-4=0③,m为实数,依题意平面③和平面ADC即xoy平面的夹角为45°,平面③的法向量为(1,-1,m),xoy平面的法向量为(0,0,1),所以cos45°=[1×0＋(-1)×0＋m×1]/｛√[1^2＋(-1)^2＋m^2]√[0^2＋0^2＋1^2]｝,由此求得m=√2,所以③变为x-y＋√2z-4=0④；④即为平面EAD的方程；其次求PB的直线方程：x=y/(-3)=z/√2⑤,⑤即为PB的直线方程,E点即为平面EAD和直线PB的交点,即E为平面方程④和直线方程⑤的交点,联立④和⑤得E点坐标为E(2/3,-2,2√2/3),所以BE长度为BE=√[(2/3)^2＋(-2)^2＋(2√2/3)^2],即BE=4/√3.
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