解题思路：由f（x）是R上的奇函数，可得f（0）=0，log3b=0，可得b的值．再利用f（-x）=-f（x），a=-c． 这时
f(x)＝lo
g
3
x
2
−cx+1
x
2
+cx+1]在[1，+∞）上是增函数，且最大值是1．转化为
u(x)＝
x
2
−cx+1
x
2
+cx+1
在[1，+∞）上是增函数，且最大值是3．利用导数研究其单调性即可．
由f（x）是R上的奇函数，可得f（0）=0，log3b=0，∴b=1．
又∵f（-x）=-f（x），即log3
x2−ax+1
x2−cx+1＝−log3
x2+ax+1
x2+cx+1，
∴
x2+1−ax
x2+1−cx＝
x2+1+cx
x2+1+ax⇔(x2+1)2−a2x2＝(x2+1)2−c2x2．
∴a2=c2⇒a=c或a=-c，但a=c时，f（x）=0，不合题意；故a=-c．
这时f(x)＝log3
x2−cx+1
x2+cx+1在[1，+∞）上是增函数，且最大值是1．
设u(x)＝
x2−cx+1
x2+cx+1在[1，+∞）上是增函数，且最大值是3．
∵u′(x)＝
(2x−c)(x2+cx+1)−(2x+c)(x2−cx+1)
(x2+cx+1)2＝
2c(x2−1)
(x2+cx+1)2＝
2c(x+1)(x−1)
(x2+cx+1)2，
当x＞1时，x2-1＞0⇒u'（x）＞0，故c＞0；
又当x＜-1时，u'（x）＞0；当x∈（-1，1）时，u'（x）＜0；
故c＞0，又当x＜-1时，u'（x）＞0，当x∈（-1，1）时，u'（x）＜0．
∴u（x）在（-∞，-1），（1，+∞）是增函数，在（-1，1）上是减函数．
又∵x＞1时，x2-cx+1＜x2+cx+1，u（x）＜1，
∴x=-1时，u（x）最大值为3．
∴[1+c+1/1−c+1＝3，c＝1，a＝−1．
经验证：a=-1，b=1，c=1时，f（x）符合题设条件，
∴存在满足条件的a、b、c，即a=-1，b=1，c=1．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查了对数函数类型的函数奇偶性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于难题．
1年前
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