已知A、B、C是平面上不共线三点,动点P满足向量OP=1/3[(1-λ)向量OA+(1-λ)向量OB+(1+2λ)向量
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好吧,我来帮你做：

OP=OA+AP,OP=OB+BP,OP=OC+CP

故：3OP=(OA+OB+OC)-(PA+PB+PC)

而：3OP=(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC

=(OA+OB+OC)-λ(OA+OB-2OC)

故：PA+PB+PC=λ(OA+OB-2OC)

取线段AB的中点为D

OA+OB-2OC=2OD-2OC=2CD

而：PA+PB=2PD,即：2PD+PC=2λCD=2λ(PD-PC)

故：2(λ-1)PD=(1+2λ)PC

λ=1时,OP=OC,即：P点与C点重合

λ=-1/2时,2OP=OA+OB,即：P点与D点重合

λ≠1和-1/2时,PD与PC共线,即：C、P、D共线

CD为△ABC的一条中线,故P点定过△ABC的重心

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