已知函数y=（a+2）x2-2（a2-1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．
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解题思路：将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为
x＝
a
2
−1
a+2
＝(a−2)+
3
a+2
，因
0＜
3
a+2
≤1
，
a−2＜
a
2
−1
a+2
≤a−1
，故函数的最小值只可能在x取a-2，
a
2
−1
a+2
时达到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．
∵y=（a+2）x2-2（a2-1）x+1，
∴y=（a+2）(x−
a2−1
a+2)2+1-
(a2−1)2
a+2，其对称轴为x＝
a2−1
a+2＝(a−2)+
3
a+2，
因为a为正整数，故因0＜
3
a+2≤1，a−2＜
a2−1
a+2≤a−1，
因此，函数的最小值只能在x取a-2，a-1，
a2−1
a+2时达到，
（1）当a-1=
a2−1
a+2时，a=1，此时，x=0使函数取得最小值，由于x是正整数，故应舍去；
（2）a-2＜
a2−1
a+2＜a-1时，即a＞1时，由于x是正整数，而
a2−1
a+2为小数，故x=
a2−1
a+2不能达到最小值，
当x=a-2时，y1=（a+2）（a-2）2-2（a2-1）（a-2）+1，
当x=a-1时，y2=（a+2）（a-1）2-2（a2-1）（a-1）+1，
又y1-y2=4-a，
①当4-a＞0时，即1＜a＜4且a为整数时，x取a-1，使y2为最小值；
②当4-a=0时，即a=4时，有y1=y2，此时x取2或3；
③当4-a＜0时，即a＞4且为整数时，x取a-2，使y1为最小值；
综上，x＝
a−1，1＜a＜4时
2或3，a＝4时
a−2，当a＞4时（其中a为整数）．
点评：
本题考点： 二次函数的最值；配方法的应用．
考点点评： 本题考查了二次函数的最值，难度较大，关键是用分类讨论的思想进行解题．
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