如图所示，平面 ∥平面 ，点A∈ ，C∈ ，点B∈ ，D∈ ,点E，F分别在 线段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD
1个回答
（1）证明略（2）EF=
或EF=
（1） ①当AB，CD在同一平面内时，
由
∥
，平面
∩平面ABDC=AC，
平面
∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD， 2分
∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，
又EF
,BD
,∴EF∥
. 4分
②当AB与CD异面时，
设平面ACD∩
=DH，且DH=AC.
∵
∥
，
∩平面ACDH=AC，
∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形， 6分
在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD，
又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，
又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面
.
∵EF
平面EFG，∴EF∥
.综上，EF∥
. 8分
（2）解 如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME=
BD=3，MF=
AC=2，
∴∠EMF为AC与BD所成的角（或其补角），
∴∠EMF=60°或120°， 12分
∴在△EFM中由余弦定理得，
EF=
=
=
，
即EF=
或EF=
. 16分
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