.如图,已知正方形ABCD,M是AB边上一点,连DM,作MN⊥DM 交∠CBE的平分线于N.
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证明:把三角形DCF顺时针旋转90度,得到三角形DAG,连接DB

所以DF=DG

角CDF=角ADG

角DAG=角C

因为四边形ABCD是正方形

所以角ABD=角DBC=45度

角ADC=角C=角DAB=角CBE=90度

所以角DAG+角DAB=180度

所以点G,A,B三点共线

因为BN平分角CBE

所以角CBN=1/2角CBE

所以角CBN=45度

所以角DBN=角DBC+角CBN=90度

因为MN垂直DM

所以角DMN=90度

所以角DMN=角DBN=90度

所以D,M,B,N四点共圆

所以角DNM=角ABD=45度

因为角DMN+角DNM+角MDN=180度

所以角MDN=45度

因为角ADC=角CDF+角MDN+角ADM=90度

所以角ADM+角CDF=45度

所以角GDM=角ADG+角ADM=45度

所以角GDM=角MDN=45度

因为DG=DF(已证)

DM=DM

所以三角形GDM和三角形FDM全等(SAS)

所以角DMA=角DMF

因为角DMN=角DMF+角FMN=90度

角DMN+角DMA+角EMN=180度

所以角DMF+角NMF=角DMA+角EMN=90度

所以角NMF=角EMN

所以MN平分角FME