已知函数f(x)=x 2 +2x+alnx(a∈R)，
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(1)f(x)=x 2+2x-41nx(x＞0)，f′(x)=2x+2-
，
当x＞1时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，
∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
∴f(x) min=f(1)=3．
(2)
，
若f(x)在(0，1)上单调递增，则2x 2+2x+a≥0在x∈(0，1)上恒成立
在x∈(0，1)上恒成立，
令u=-2x 2-2x，x∈(0，1)，则
，
，
∴a≥0；
若f(x)在(0，1)上单调递减，则2x 2+2x+a≤0在x∈(0，1)上恒成立
；
综上，a的取值范围是(-∞，-4]∪[0，+∞)．
(3)(2t-1) 2+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2t 2+4t+2alnt-3恒成立，
a[ln(2t-1)-21nt]≥-2t 2+4t-2
a[ln(2t-1)-lnt 2]≥2[(2t-1)-t 2]，
当t=1时，不等式显然成立；
当t＞1时，t 2-(2t-1)=t 2-2t+1=(t-1) 2＞0
t 2＞2t-1
lnt 2＞ln(2t-1)
在t＞1时恒成立，
令
，即求u的最小值，
设A(t 2，lnt 2)，B(2t-1，ln(2t-1))，
，
且A、B两点在y=lnx的图象上，
又∵t 2＞1，2t-1＞1，
故0＜k AB＜
，
∴
，故a≤2，
即实数a的取值范围为(-∞，2]。
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