已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，若存在正实数m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x）恒成立，则称h（x）为
1个回答
（1）若函数y=sinkx，（k∈R）是f（x），g（x）在R上的生成函数，
则存在正实数m，n使得sinkx= msin
x
2 +ncosx 恒成立，
取x=0得：0=n，不符合n＞0这个条件，
故函数y=sinkx，（k∈R）不是为f（x），g（x）在R上的生成函数，
（2）∵G（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数，若 G(
π
3 )=1 ，
则存在正实数m，n使得G（x）= msin
x
2 +ncosx 恒成立，
且 msin
π
6 +ncos
π
3 =1 ，即：m+n=2，
故G（x）= (2-n)sin
x
2 +ncosx = (2-n)sin
x
2 +n(1-2sin 2
x
2 )
= (2-n)sin
x
2 -2nsin 2
x
2 +n
令sin
x
2 =t，则G（x）=-2nt 2+（2-n）t+n，
根据其G（x）的最大值为
9
8 ，
得到：n=1 或
4
9
代入m+n=2，得
m=1，n=1，或m=
14
9 ，n=
4
9
故G（x）的解析式为：G（x）= sin
x
2 +cosx 或G（x）=
14
9 sin
x
2 +
4
9 cosx ．
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