一道数学题22在平面直角坐标系中,抛物线y=（1/2）x²+bx+c经过点A(-4,0)、C（2,0）两点,与

一道数学题22

在平面直角坐标系中,抛物线y=（1/2）x²+bx+c经过点A(-4,0)、C（2,0）两点,与y轴交于点B.点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-1/2x上的动点.若以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯形时,求出满足条件的所有Q点的坐标.（好像其中有两个点是分别是（4,-2）和（-8,4）,如果正确,说说求解的方法,最好有过程.其他的点直接写出即可.）

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依题意,可得：y = (1/2)(x+4)(x-2) = (1/2)x²+x-4 ,则有：点B的坐标为（0,-4）；

若以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯形时,需要分情况讨论：

① 当OB是直角梯形的直角腰时,梯形的两底分别在直线 y = 0 和 y = -4 上；

y = 0 和 y= (1/2)x²+x-4 的交点为 (-4,0)、(2,0) ；

y = -4 和 y= (1/2)x²+x-4 的交点为 (-2,-4) ,和 y = (-1/2)x 的交点为 (8,-4) ；

经检验：只有当 P（2,0）、Q（8,-4）时, 以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯形；

② 当OB是直角梯形的一条底边,且∠B = 90°时,梯形的直角腰在直线 y = -4 上；

y = -4 和 y= (1/2)x²+x-4 的交点为 (-2,-4) ,和 y = (-1/2)x 的交点为 (8,-4) ；

则直角梯形的另一条底边在直线 x = -2 或 x = 8 上；

x = -2 和 y = (-1/2)x 的交点为 (-2,1) ,

x = 8 和 y= (1/2)x²+x-4 的交点为 (8,36) ,

经检验：当 P（-2,-4）、Q（-2,1）或 P（8,36）、Q（8,-4）时, 以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯形；

③ 当OB是直角梯形的一条底边,且∠O = 90°时,梯形的直角腰在直线 y = 0 上；

y = 0 和 y= (1/2)x²+x-4 的交点为 (-4,0)、(2,0) ；

可得：直角梯形的另一条底边在直线 x = -4 或 x = 2 上；

x = -4 和 y = (-1/2)x 的交点为 (-4,2) ,

x = 2 和 y = (-1/2)x 的交点为 (2,-1) ,

经检验：只有当 P（2,0）、Q（2,-1）时, 以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯形；

④ 当OB是直角梯形的一条腰,且OB不是直角腰时,

梯形的两底分别在直线 y = (-1/2)x 和 y = (-1/2)x-4 上；

y = (-1/2)x 和 y= (1/2)x²+x-4 的交点为（(-3+√41)/2,(3-√41)/4）和（(-3-√41)/2,(3+√41)/4）,分别作和 y = (-1/2)x-4 垂直的直线,可得垂足为 （略）,【P、Q在OB两侧不合】

y = (-1/2)x-4 和 y= (1/2)x²+x-4 的交点为 （-3,-5/2）,

过点（-3,-5/2）作和 y = (-1/2)x 垂直的直线,可得垂足为 （-7/5,7/10）；

经检验：当 P（-3,-5/2）、Q（-7/5,7/10）时, 以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯形；

综上可得：满足条件Q点的坐标有4个,分别为：（8,-4）、（-2,1）、（2,-1）、（-7/5,7/10）.

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