1.已知方程 x² + 3x - 1 = 0 的两实数根为a、b,不解方程求 a - b 的值.
由韦达定理得：a+b=-3,ab=-1
a-b=±√(a-b)²=±√[(a+b)²-4ab]==±√14
2.在△ABC中,AC = 2a ,BC = a² + 1 ,AB = a² - 1 ,其中a ＞1,△ABC是不是直角三角形?如果是,哪一个角是直角?
∵BC²-AB²=(a²+1)²-(a²-1)²=4a²=AC²
∴△ABC是直角三角形,角A是直角
3.关于 x 的方程 kx² +（k + 2 ）x² +（k/4）= 0 有两个不相等的实数根,问是否存在实数 k ,使得方程的两个实数根的倒数和等于2013?
令两根分别为a、b,则:
a+b=-(k+2)/k,ab=1/4:
△=(k+2)²-4k*k/4=4k+4>0
k>-1
1/a+1/b=(a+b)/(ab)=-4(k+2)/k=2013
k=-8/2017
∵-8/2017>-1
∴存在实数k
4.已知三角形的两边长分别为4、5,第三边上的高为3,求此三角形的面积（考虑多种情况）.
一、若最长边为5,则：
第三边：√(5²-3²)-√(4²-3²)=4-√7
S△=1/2*3*(4-√7)=6-3/2√7
二、若第三边为最长边,则：
第三边：√(5²-3²)+√(4²-3²)=4+√7
S△=1/2*3*(4+√7)=6+3/2√7
5.已知△ABC的两边AB、AC的长是关于 x 的一元二次方程 x² -（2k + 3）x + k² + 3k + 2 = 0 的两个实数根,第三边BC的长为5.试问：k 取何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?
AB+AC=2k+3,AB*AC=k² + 3k + 2
AB²+AC²=BC²
(AB+AC)²-2AB*BC=25
(2k+3)²-2(k²+3k+2)=25
k²+3k-10=0
(k-2)(k+5)=0
k=-5(舍去).k=2
因此,当k=2时,△ABC是直角三角形
