已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）+f（y）=2f(x+y2)f(x−y2)，f（0）≠0，且存在非零常数c，
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解题思路：（1）令x=0，y=0，并代入有
f(x)+f(y)＝2f(
x+y
2
)f(
x−y
2
)，f(0)≠0
，即可求出f（0）的值；
（2）令y=-x，代入求得f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），即可证得结果；
（3）根据存在非零常数c，使f（c）=0及周期函数的定义得到f（2c+x）+f（x）=
2f(
2c+2x
2
)•f(
2c
2
)
=0，再验证f（4c+x）=f（x）即可证明结论．
（1）∵任意x，y∈R均有f（x）+f（y）=2f(
x+y
2)f(
x−y
2)，令x=y=0，
∴2f（0）=2f（0）•f（0），
∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
（2）令y=-x，
可得f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），
有f（-x）=f（x），
则f（x）为偶函数、
（3）∵f（2c+x）+f（x）=2f(
2c+2x
2)•f(
2c
2)，
∵f（c）=0，∴f（2c+x）+f（x）=0，
即f（2c+x）=-f（x），
∴f（x）=-f（2c+x）=-[-f（2c+（2c+x））]=f（4c+x），
∴f（x）的周期为4c．
点评：
本题考点： 抽象函数及其应用．
考点点评： 此题是个中档题题，考查抽象函数及其应用，以及利用函数奇偶性和周期性的定义判断函数的奇偶性和周期性，解决抽象函数的问题一般应用赋值法．
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