已知函数f（x）=e x -ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对
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（1）由题意a＞0，f′（x）=e x-a，
由f′（x）=e x-a=0得x=lna．
当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
即f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f（lna）=e lna-alna-1=a-alna-1．（5分）
（2）f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x） min≥0．
由（1），设g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0．
由g′（a）=1-lna-1=-lna=0得a=1．
∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解为a=1，∴a=1．（9分）
（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e x-x-1≥0，即1+x≤e x．
令 x=-
k
n （n∈N *，k=0，1，2，3，…，n-1），则 0＜1-
k
n ≤ e -
k
n ．
∴ (1-
k
n ) n ≤( e -
k
n ) n = e -k ．
∴ (
1
n ) n +(
2
n ) n +…+(
n-1
n ) n +(
n
n ) n ≤ e -(n-1) + e -(n-2) +…+ e -2 + e -1 +1
=
1- e -n
1- e -1 ＜
1
1- e -1 =
e
e-1 ．（14分）
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