如图：抛物线 y=x2+4x+k与轴交于A、B两点 - 已解决

如图：抛物线 y=x2+4x+k与轴交于A、B两点，设此抛物线的顶点为C

如图：抛物线 y=x²+4x+k与轴交于A、B两点，设此抛物线的顶点为C

（1）求抛物线顶点C的坐标（用k表示）

（2）若△ABC为直角三角形，求k的值．

（3）若△ABC是等边三角形，k的值是多少？（直接写出答案）

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1个回答

解题思路：（1）直接将二次函数化为顶点式，即可直接得出结果；

（2）欲求k的值，过点C作CD⊥x轴于点D，利用抛物线的性质可知△ABC为等腰直角三角形，可得出BD=CD=4-k，从而可表示出点B的坐标，代入解析式中即可得出k的值；

（3）同（2）；

（1）y=x²+4x+k

=（x+2）²+k-4

∴抛物线的顶点C的坐标为（-2，k-4）（4分）．

（2）过点C作CD⊥x轴于点D，由抛物线的对称性可得CA=CB

∵△ABC是直角三角形

∴BD=CD=4-k

∵抛物线的对称轴是直线x=-2

∴点B的坐标为（2-k，0）

将点B的坐标代入抛物线的解析式：（2-k）²+4（2-k）+k=0

整理得：k²-7k+12=0

解得k=3或k=4

当k=4时，A、B重合，不合题意，∴k=3（10分）．

（3）k=1（12分）．

点评：

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题主要考查了抛物线解析式的确定、以及直角三角形和等边三角形的一些性质等知识点，同时也考查了学生数形结合的数学思想方法．

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