设函数f（x）=[1/2mx2-2x+lnx．
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解题思路：（Ⅰ）先求出函数的导数，得出m=1，于是f（x）在（0，+∞）单调递增，从而x=1不是f（x）的极小值点；
（Ⅱ）先求出函数的导数，分别讨论当m=0时，当0＜m＜1时，当m≥1时的情况，从而求出函数的单调递增区间；
（Ⅲ）先求出g（x）的表达式，得出g（x）≤g（1）恒成立；得不等式
t
2
+(1+
1
2
m)t+
1
2
m−1≤0
，解出即可．
（Ⅰ）f′(x)＝mx−2+
1
x]，
令f'（1）=0，得m=1；
当m=1时，f′(x)＝
(x−1)2
x+1≥0，
于是f（x）在（0，+∞）单调递增，
∴x=1不是f（x）的极小值点；
（Ⅱ）f′(x)＝
mx2−2x+1
x，
当m=0时，f（x）在(0，
1
2)上单调递增；
当0＜m＜1时，f（x）在(0，
1−
1−m
m)上单调递增，(
1+
1−m
m，+∞)上单调递增；
当m≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递；
（Ⅲ）g(x)＝f(x)−lnx+x3＝x3+
1
2mx2−2x．
由题意，当x∈[1，t]时，g（x）≤g（1）恒成立；
易得g(x)−g(1)＝(x−1)[x2+(1+
1
2m)x+
1
2m−1]≤0，
令h(x)＝x2+(1+
1
2m)x+
1
2m−1，
因为h（x）必然在端点处取得最大值，即h（t）≤0，
即t2+(1+
1
2m)t+
1
2m−1≤0，
即
−t2−t+1
t+1≥−2，解得，1＜t≤
1+
13
2，
所以t的最大值为
1+
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，求参数的范围，是一道综合题．
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