解题思路：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，知x＞0，f′（x）=lnx+1，由此能求出f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．
（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[1，e]都有g（x1）≥f（x2）成立等价于g（x1）min≥f（x2）max，从而转化为分别求函数g（x），f（x）在[1，e]的最小值、最大值．
（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，
∴x＞0，f′（x）=lnx+1，
由f′（x）=lnx+1＞0，得x＞[1/e]，
∴f（x）的增区间是（[1/e，+∞）．
由f′（x）=lnx+1＜0，得x＜
1
e]，
∴f（x）的减区间是（0，[1/e]）．
∴f（x）在区间[1，e]上上单调递增，
∴f（x）在区间[1，e]上的最大值f（x）max=f（e）=elne=e．
（Ⅱ）对任意的x1，x2∈[1，e]都有g（x1）≥f（x2）成立，等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[g（x）]min≥[f（x）]max．
当x∈[1，e]时，f′（x）=lnx+1＞0．
∴函数f（x）=xlnx在[1，e]上是增函数．
∴[f（x）]max=f（e）=e．
∵g(x)＝x+
a2
x，（a＞0），
∴g ′(x)＝1−
a2
x2=
(x+a)(x−a)
x2，且x∈[1，e]，a＞0．
①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，g′(x)＝
(x+a)(x−a)
x2＞0，
∴函数g(x)＝x+
a2
x，在[1，e]上是增函数，
∴[g（x）]min=g（1）=1+a2．
由1+a2≥e，得a≥
e−1，
又0＜a＜1，∴a不合题意．
②当1≤a≤e时，
若1≤x＜a，则g′(x)＝
(x+a)(x−a)
x2＜0，
若a＜x≤e，则g′(x)＝
(x+a)(x−a)
x2＞0．
∴函数g(x)＝x+
a2
x在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．
∴[g（x）]min=g（a）=2a．
由2a≥e，得a≥[e/2]，
又1≤a≤e，∴[e/2]≤a≤e．
③当a＞e且x∈[1，e]时，g′(x)＝
(x+a)(x−a)
x2
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．
考点点评： 本题综合考查了极值存在的性质及零点判定定理的运用，函数的恒成立问题，解决此类问题常把问题进行转化，体现了转化的思想、方程与函数的思想的运用．属于中等难度的试题．
