已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3，
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解题思路：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，知f′（x）=1+lnx，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间，从而可求函数的最小值；
（Ⅱ）由对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，知2xlnx≥-x2+ax-3，分离参数，求最值，由此能够求出实数a的取值范围．
（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=1+lnx，x＞0，
由f′（x）=1+lnx＜0，可得0＜x＜[1/e]，f′（x）=1+lnx＞0，可得x＞[1/e]，
∴函数f（x）的减区间为（0，[1/e]），增区间为（[1/e]，+∞）．
∴x=[1/e]时，函数取得最小值-[1/e]；
（Ⅱ）∵对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∴2xlnx≥-x2+ax-3，
∴a≤2lnx+x+[3/x]，
令h（x）=2lnx+x+[3/x]，
则h′（x）=
(x+3)(x−1)
x2
当x＞1时，h（x）是增函数，
当0＜x＜1时，h（x）是减函数，
∴a≤h（1）=4．
即实数a的取值范围是（-∞，4]．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查利用导数求函数的单调区间和实数的取值范围的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．
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