P是△ABC所在平面上一点,如何证明下列关系P代表三角形垂心?
1个回答

PA^2+BC^2=PB^2+CA^2

即：PA^2-PB^2=CA^2-BC^2

由这个式子即可以推出PC⊥AB

初级的做法是：

分别过P和C作AB的垂线,

结合勾股定理,可以证明这两垂线段的垂足重合,

也就是P点在AB边的高上.

同理,其它两边也可以得到类似结论,

∴P点就是垂心

高级的做法是：

分别以A、B为圆心作两个圆,半径分别为R、r

使得R、r满足：PA^2-PB^2=CA^2-BC^2=R^2-r^2

式子变形就得到：

PA^-R^2=PB^-r^2,CA^2-R^2=BC^2-r^2

∴P、C两点对于两圆的幂相等

∴线段PC在两圆的根轴上

∴PC⊥连心线AB

同理,PB⊥AC、PA⊥BC

∴P是△ABC的垂心

相关问题