对于函数f（x）=a-[2bx+1（a∈R，b＞0，且b≠1）
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解题思路：（1）运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号几个步骤，结合指数函数的单调性，即可判断；

（2）运用奇函数的性质：在定义域为R，f（0）=0，求出a，再由定义检验即可；

（3）求出x∈[0，1]，函数f（x）的值域，注意指数函数的单调性，即可得到．

（1）函数f（x）的定义域为R，

设m＜n，则f（m）-f（n）=（a-

2

bm+1）-（a-

2

bn+1）=

2(bm−bn)

(bm+1)(bn+1)，

当b＞1时，由m＜n则bm＜bn，bm+1＞0，bn+1＞0，

则f（m）-f（n）＜0，即有f（x）在R上是增函数；

当0＜b＜1时，由m＜n则bm＞bn，bm+1＞0，bn+1＞0，

则f（m）-f（n）＞0，即有f（x）在R上是减函数；

（2）函数f（x）的定义域为R，由f（0）=0得a=1，

当a=1时，f（x）=1-

2

bx+1=

bx−1

bx+1，

f（-x）=

b−x−1

b−x+1=

1−bx

1+bx=-f（x），

则a=1时f（x）为奇函数；

（3）f（x）=1-

2

2x+1，由于0≤x≤1，

则1≤2x≤2，2≤2x+1≤3，

2/3≤

2

1+2x]≤1，

即有0≤f（x）≤

1

3，则有0≤m≤

1

3，

则实数m的取值范围是[0，[1/3]]．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数的单调性和奇偶性的判断及应用，考查运算能力，属于中档题．

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