如图，经过x轴上A（-1，0）、B（3，0）两点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交y轴的正半轴于点C，设抛物线的顶

如图，经过x轴上A（-1，0）、B（3，0）两点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交y轴的

正半轴于点C，设抛物线的顶点为D．

（1）用含a的代数式表示出点C、D的坐标；

（2）若∠BCD=90°，请确定抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，能否在抛物线上找到另外的点Q，使△BDQ为直角三角形？如果能，请直接写出点Q的坐标；如不能，说明理由．

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解题思路：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可得到a、b、c的关系式，进而可得到C、D的坐标．

（2）根据B、C、D三点坐标，分别表示出BC2、CD2、BD2的值，若∠BCD=90°，则由勾股定理可得BC2+CD2=BD2，从而可求得a的值和抛物线的解析式．

（3）根据B、D的坐标可得直线BD的解析式，若△BDQ是直角三角形，则有两种情况需要讨论：

①D是直角顶点，此时QD⊥BD，即两条直线的斜率的积为-1，结合点D的坐标，即可求得直线QD的解析式，联立抛物线的解析式，即可得到点Q的坐标；

②B是直角顶点，方法同①．

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：

a−b+c＝0

9a+3b+c＝0，

则

b＝−2a

c＝−3a；

∴y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a；

故D（1，-4a），C（0，-3a）．

（2）由于B（3，0），C（0，-3a），D（1，-4a），则：

BD2=16a2+4，BC2=9a2+9，CD2=a2+1；

若∠BCD=90°，则：BD2=BC2+CD2，即：

16a2+4=9a2+9+a2+1，

解得a=-1（正值舍去），

故抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．

（3）易知C（0，3），D（1，4）；

而B（3，0），

则直线BD：y=-2x+6；

①∠BDQ=90°，可设直线DQ：y=[1/2]x+m，则有：

[1/2]+m=4，m=[7/2]；

即y=[1/2]x+[7/2]；

联立抛物线的解析式有：

y＝

1

2x+

7

2

y＝−x2+2x+3，

解得

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了函数图象上点的坐标意义、二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定等知识，要注意的是（3）题中，由于D、B都有可能是直角顶点，所以一定要分类讨论，以免漏解．

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